Marcel Vonk won in 2010 als eerste Nederlander een No Limit Hold’em WSOP bracelet. Zijn overwinning in het $1.000 event (3844 deelnemers) leverde $570.960 op. In het dagelijks leven is Vonk theoretisch natuurkundige, werkzaam aan het Instituto Superior Técnico in Lissabon. Voor PokerCity schrijft Vonk maandelijks een strategiebijdrage, waarin hij zijn kijk op het spel als speler én wetenschapper geeft.
In mijn vorige artikel heb ik het gehad over hand rankings: handvolgordes die aangeven hoe goed een bepaalde hand in een shortstacked preflop all-insituatie is. We zagen dat zo’n hand ranking flink kan afhangen van de situatie. In het bijzonder hangt de ranking af van het percentage handen waarmee we all in willen gaan, en van het percentage waarmee de tegenstander callt. Een “universele” hand ranking, zoals die uit het programma PokerStove, geeft een goede eerste benadering, maar vaak is het goed om de zwakste handen uit een bepaalde PokerStove-range te vervangen door wat extra kleine paren.
Een heel belangrijke vraag bleef in het vorige artikel onbesproken. Hoe bepalen we überhaupt wat het percentage is van handen waarmee we all in willen gaan? Om onze kennis van hand rankings in de praktijk te kunnen brengen, willen we natuurlijk niet alleen weten wat goede en slechte handen zijn, maar ook met welke handen we net wél en net níet kunnen pushen. In dit artikel ga ik daar dieper op in.
Het gevaar van hapklare brokken
Wie wat rondkijkt op het internet vindt zonder veel problemen pushbot-charts, all-insystemen zoals Sage, en complete softwarepakketten zoals SitNGo Wizard. Al die producten vertellen ons met welke handen we in een bepaalde situatie all in moeten gaan. Is dat niet ruim voldoende? Wat heeft het voor zin om te weten hoe we zelf onze push-range kunnen bepalen, als een snelle blik op een chart of een druk op de knop voldoende is?
Ten eerste: hoewel al die verschillende systemen grofweg hetzelfde antwoord geven, verschillen de details vaak. Zoals we zullen zien is het bepalen van push-percentages geen exacte wetenschap. In theorie is er in elke situatie een optimale strategie, maar in de praktijk moeten we altijd benaderingen maken om die te bepalen. Welk systeem we ook gebruiken, we zullen de uitkomst dus moeten zien als een eerste benadering die we zelf indien nodig wat moeten bijstellen. Om dat te kunnen doen, moeten we begrijpen hoe we überhaupt aan de oorspronkelijke benadering komen. Dat zal ik in dit artikel uitleggen.
Ten tweede: Wat de beste strategie is, hangt af van hoe onze tegenstander speelt. Veel pushbot-charts vertellen alleen wat de beste strategie is tegen een tegenstander die vrijwel perfect poker speelt. Het is goed om te weten hoe we onze strategie moeten aanpassen als onze tegenstander te veel of juist te weinig callt. We zullen zien dat dat, als we eenmaal begrijpen hoe we een range bepalen, verbazend eenvoudig is.
Ten derde: het bepalen van een goed push-percentage in heads-upsituaties is, als we het rekenwerk eenmaal begrijpen, niet heel erg moeilijk. Een eenvoudige Excel-sheet is voldoende; ik zal hieronder een voorbeeld van zo’n spreadsheet geven. Wie dus liever (nog) geen geld uitgeeft aan specialistische pokersoftware, kan ook met eenvoudige middelen al heel ver komen.
Disclaimers
Laat ik eerst vertellen wat we in dit artikel niet zullen doen. Om te beginnen ga ik het alleen hebben over heads-upsituaties. Dat wil niet zeggen dat we nog maar met twee spelers aan tafel hoeven te zitten. Situaties waarin iedereen past en alleen de small en big blind nog in de hand zitten, vallen hier ook onder. In deel 4 van deze serie zal ik situaties bespreken waarin er nog meerdere personen zijn die na ons in actie komen.
Verder zal ik in dit artikel werken met de hand ranking uit PokerStove. Dat klinkt na mijn vorige artikel misschien wat raar: dat ging immers over de tekortkomingen van de PokerStove-range. Voorlopig gaat het echter niet om de subtiele details. Als we eenmaal weten welk push-percentage de onderstaande methode ons voorschrijft, kunnen we die vervolgens gaan aanpassen. Voor een eerste benadering is de PokerStove-range ruim voldoende, en ik heb ervoor gekozen om die range te gebruiken omdat iedereen die met één druk op de knop beschikbaar heeft.
Wie al iets verder wil gaan, kan natuurlijk eenvoudig de belangrijkste les uit het vorige artikel toepassen en na het bepalen van de push-range een aantal handen aan de onderkant vervangen door extra kleine paren. In deel 3 van deze serie zal ik uitgebreider terugkomen op de vraag hoe dit onze push-range beïnvloedt, en bespreek ik andere factoren zoals het beruchte “ICM” waarmee we onze ranges verder kunnen perfectioneren.
Een voorbeeld
Goed, genoeg inleiding – laten we eens naar een praktijkvoorbeeld kijken. We zitten op de small blind, aan een tafel met 9 spelers, en iedereen voor ons heeft gepast. De blinds zijn 500/1000, met een ante van 100. Onze stack vóór het betalen van de blinds en antes is 10.000 chips – precies 10 big blinds, dus. Onze tegenstander heeft meer chips, en is een goede speler die zijn ranges kent. Met welke handen gaan we all in, en met welke handen passen we? (Stop! Gok voor je verder leest eerst zelf de range waarmee je all in zou gaan, en controleer verderop hoe goed je schatting was.)
Onze bedoeling is om de strategie te kiezen die onze verwachtingswaarde zo groot mogelijk maakt. De verwachtingswaarde (in de pokerwereld vaak met EV aangeduid, vanwege de Engelse term “expected value”) is de gemiddelde waarde die een strategie op de lange termijn heeft. We rekenen die uit door de kans op elke mogelijke uitkomst te berekenen, die te vermenigvuldigen met de waarde van die uitkomst, en alle zo verkregen resultaten op te tellen.
Bijvoorbeeld: iemand organiseert een loterij, en is zo vriendelijk om ons een gratis lot te geven. Op 10% van de loten valt een prijs van 10 euro, en op 1% valt de hoofdprijs van 500 euro. De verwachtingswaarde van het lot is dan: 0.1 x €10 + 0.01 x €500 = €1 + €5 = €6. Met andere woorden: als we maar vaak genoeg aan deze loterij meedoen, zullen we gemiddeld 6 euro per keer winnen.
Merk trouwens op dat we de uitkomst “we winnen geen prijs” hier niet hebben meegeteld. Dat gebeurt in de resterende 89% van de gevallen, maar omdat het resultaat in al die gevallen nul is, is het natuurlijk wat overdreven om nog apart “0.89 x €0”, dus 0 euro, bij de uitkomst op te tellen.
Verwachtingswaarde voor een gekozen strategie
Laten we nu eens een willekeurige strategie kiezen, en uitrekenen wat de verwachtingswaarde van die strategie is. Het is belangrijk om daarbij te beseffen dat de verwachtingswaarde niet alleen van onze strategie zal afhangen, maar natuurlijk ook van die van de tegenstander.
Stel dat we besluiten om met de beste 70% (volgens de PokerStove-ranking) van onze handen all in te gaan, en dat onze tegenstander met de beste 40% van zijn handen callt. Wat is dan onze EV? Om die te berekenen moeten we eerst alle mogelijke uitkomsten op een rijtje zetten. Dat zijn er vier:
- We kunnen passen. In dat geval verandert onze stack niet (we beschouwen de blind en de ante die we betaald hebben al als “verloren”), en is het resultaat dus 0.
- We kunnen all in gaan en onze tegenstander kan passen. In dat geval winnen we de blinds en de antes, dus 500 + 1000 + 900 = 2400 chips.
- We kunnen all in gaan, gecalld worden en winnen. In dat geval winnen we de blinds en de antes, plus de 8900 chips die onze tegenstander moet bijleggen om te callen. (Samen met zijn big blind en zijn ante precies onze 10.000 chips.) In totaal winnen we dan dus 8900 + 2400 = 11.300 chips.
- We kunnen all in gaan, gecalld worden en verliezen. In dat geval verliezen we de rest van onze stack (dat wil zeggen: wat er nog over is na het betalen van de small blind en de ante), dus het resultaat is -9400 chips.
Om nu de verwachtingswaarde uit te rekenen, moeten we ook de kans op al deze uitkomsten weten. De kans op situatie 1 hoeven we niet uit te rekenen: in dat geval is het resultaat immers net als in het loterijvoorbeeld nul. We beginnen dus met situatie 2:
- 2. We gaan met 70% van onze handen all in. De tegenstander callt met 40% van zijn handen, en foldt dus de overige 60%. Een push gevolgd door een fold zal dus in 60% van 70% van de gevallen voorkomen, dus in 0.6 x 0.7 = 0.42, oftewel 42% van de gevallen.
Intermezzo 1: wat gezifte muggen
Voor we verder gaan, een klein intermezzo voor de wiskundeliefhebbers. Er zijn twee redenen waarom het bovenstaande percentage niet helemaal precies is. Ten eerste kunnen we niet precies met 70% van onze handen all in gaan. Als we in PokerStove een range van 70% proberen in te voeren, zal het programma de range kiezen die daar het dichtst bij ligt – in dit geval (zie de afbeelding) een range van ongeveer 70.1%. Hetzelfde geldt natuurlijk voor de range van 40% – al blijkt die range toevallig afgerond te worden op 40.0%.
Een tweede reden waarom het antwoord niet helemaal precies is, is dat onze range en die van de tegenstander niet onafhankelijk van elkaar zijn. Een extreem voorbeeld dat we ook in het vorige artikel al zagen: als we met 0.5% van onze handen (dus alleen AA) all in gaan, en onze tegenstander besluit ook alleen met AA callen, dan zal dat laatste niet in 0.5% van de gevallen waarin wij pushen gebeuren. We gaan alleen all in als we twee azen hebben, en in dat geval zijn er dus al twee azen uit het deck, en wordt de kans dat de tegenstander twee azen heeft veel kleiner – maar zo’n 0.1%, beduidend minder dan de 0.5% die de range “AA” normaal gesproken is. Gelukkig is dit effect voor realistische ranges veel kleiner, en kunnen we het in de benadering die we maken verwaarlozen.
Ik zal hieronder dus gewoon met de bovengenoemde getallen rekenen. In de Excel-sheet wordt overigens wel rekening gehouden met het eerstgenoemde effect, en vervangen we dus bijvoorbeeld de 70% door 70.1%.
Verder met de berekening
Er zijn nog twee situaties over waarop we de kans moeten uitrekenen.
- 3. Zoals we hierboven gezien hebben is de kans dat we all in gaan 70%, en de kans dat onze tegenstander callt 40% – samen dus 0.7 x 0.4 = 0.28, of 28%. We moeten dit nog vermenigvuldigen met de kans dat we in zo’n geval winnen. Daarvoor hebben we PokerStove: na een minuutje of wat rekenen vertelt dat ons dat de kans daarop 44.3% is. In totaal is de kans op deze uitkomst dus 0.28 x 0.443 = 0.12, dus 12%.
- 4. Als de kans 44.3% is dat we winnen, is de kans natuurlijk 100% – 44.3% = 55.7% dat we verliezen. De totale kans op pushen, gecalld worden en verliezen is dus 0.7 x 0.4 x 0.557 = 0.16, dus 16%.
Daarmee hebben we alle benodigde input om onze EV uit te rekenen. We vermenigvuldigen daarvoor alle kansen met het bijbehorende resultaat, en tellen de getallen op. Dus:
EV = 0.42 x 2400 + 0.12 x 11.300 + 0.16 x (-9400).
Intypen op een rekenmachine geeft ons
EV = 860.
De berekening die we hebben gedaan is niet heel precies: ik heb alle tussenresultaten afgerond op hele procenten. Als we de berekening nauwkeuriger doen, met een rekenmachine of met Excel, en pas aan het eind het resultaat afronden, vinden we een preciezer antwoord: de werkelijke EV is 946. De door ons (en onze tegenstander) gekozen strategie levert ons dus gemiddeld zo’n 946 chips op.
Het kiezen van de beste strategie
We hebben nu voor één strategie uitgerekend wat de verwachtingswaarde is. De volgende stap is in principe eenvoudig. We moeten dezelfde berekening doen voor elke mogelijke strategie, en dan de beste kiezen.
Hoewel de bovenstaande berekening niet enorm ingewikkeld is, is het natuurlijk onbegonnen werk om die met de hand voor elke mogelijke range uit te voeren. Gelukkig leven we in het computertijdperk, en kunnen we een eenvoudige Excel-sheet dat werk voor ons laten doen. Een voorbeeld-spreadsheet is hier te downloaden.
In de spreadsheet heb ik op het blad “Equity” alle PokerStove-equities voor een range van X% tegen Y% ingevuld, waarbij X en Y in stappen van 5% toenemen. (Zoals gezegd: de mogelijke percentages zijn niet precies veelvouden van 5%. De spreadsheet werkt met de exacte percentages.) De enige verdere informatie die nodig is, net als in het voorbeeld hierboven, is het bedrag dat we winnen als de tegenstander past, het bedrag dat we winnen als hij callt en verliest, en het bedrag dat we verliezen als hij callt en wint. Die drie getallen kunnen op het tabblad “EV” in de gele cellen worden ingevuld. De spreadsheet doet vervolgens de bovenstaande berekening voor alle verschillende percentages. In de afbeelding hieronder is een deel van het resultaat weergegeven.
Hoe kiezen we nu de optimale strategie? In het geval dat we weten welke strategie onze tegenstander heeft, is dat eenvoudig. Stel dat we bijvoorbeeld weten dat onze tegenstander met 70% van zijn handen zal callen. We kiezen dan de waarde in de kolom “70%” die het hoogst is. In het voorbeeld is dat de waarde 981, die we vinden in de rij “60%”. (Het groene vakje in die kolom.) Als onze tegenstander dus met 70% van zijn handen callt, krijgen we het beste resultaat als we met 60% van onze handen all-in gaan. Gaan we met meer handen all in, dan verliezen we te vaak een grote pot met een zwakke hand. Gaan we met minder handen all in, dan winnen we niet vaak genoeg de pot met onze sterkere handen, en pakken we niet vaak genoeg de blinds op. Een druk op de knop in PokerStove vertelt ons vervolgens welke 60% we moeten kiezen.
In de praktijk weten we natuurlijk niet welke strategie onze tegenstander zal kiezen. Maar we weten wel dat een goede tegenstander zal proberen onze winst (en dus zijn verlies) zo klein mogelijk te houden. Zo’n tegenstander zal dus de kolom kiezen waarin onze grootste waarde zo klein mogelijk is. De spreadsheet kleurt automatisch de grootste waarde in elke kolom groen; we zien in de afbeelding dat de kleinste van die groene waardes het getal 918 is, in de kolom “55%” en de rij “70%”. Een goede tegenstander zal er dus voor kiezen om met 55% van zijn handen te callen, en dat houdt in dat wij met 70% van onze handen moeten pushen. PokerStove vertelt ons dat dat de volgende handen zijn:
22+, A2s+, K2s+, Q2s+, J2s+, T2s+, 93s+, 84s+, 74s+, 63s+, 53s+, 43s, A2o+, K2o+, Q3o+, J5o+, T6o+, 96o+, 86o+, 76o
Alle kleine paren zitten al in deze range, dus we kunnen in dit geval redelijk op deze range vertrouwen, en hoeven geen grote aanpassingen te maken. (En? Kwam de geschatte range in de buurt van deze range?)
Intermezzo 2: Nash-evenwichten
Tijd voor nog een kort intermezzo voor de wiskunde-liefhebbers. We hadden de redenering natuurlijk andersom kunnen opzetten. Dat wil zeggen: als onze strategie vastligt, zal onze tegenstander de strategie uit de betreffende rij kiezen die de kleinste winst voor ons oplevert. Die strategieën zijn in de bovenstaande figuur rood gekleurd. Vervolgens kunnen wij de strategie kiezen waarbij die kleinste waarde voor ons zo groot mogelijk is. We zien dat we in dit geval op een iets ander resultaat uitkomen: het rode vakje in de kolom “50%” en de rij “70%”heeft de hoogste waarde, namelijk 913. (Het andere rode vakje met waarde 913 blijkt zonder afronding een iets kleinere EV op te leveren.)
Het verschil is weliswaar klein, maar hoe kan het dat beide methodes niet tot exact hetzelfde resultaat leiden? Het antwoord daarop is dat de strategieën waaruit de twee spelers hier kunnen kiezen, niet leiden tot een zogenaamd Nash-evenwicht. Als ik de rij “65%” kies, kan mijn tegenstander het beste de kolom “50%” kiezen. Maar als ik wéét dat hij dat zal doen, kan ik beter de rij “80%” kiezen – die levert in dat geval een hogere verwachtingswaarde op. Maar… als mijn tegenstander weet dat ik dat zal doen kan hij beter de kolom “60%” kiezen, omdat die voor hem een hogere EV heeft. Enzovoort.
Op die manier komen we na een aantal stappen weer in de oorspronkelijke kolom terecht, en zo kunnen we blijven doorgaan – uiteindelijk zal er geen enkele strategie zijn waarbij geen van beide spelers zijn resultaat meer kan verbeteren. Als zo’n strategie er wél is spreken we van een Nash-evenwicht; de strategieën waaruit we hier kunnen kiezen hebben zo’n evenwicht dus niet.
De belangrijkste reden daarvoor is dat onze tabel niet alle mogelijke strategieën bevat. We kunnen er natuurlijk voor kiezen om all in te gaan met bijvoorbeeld 67% van de handen. Of we kunnen ervoor kiezen om voor we all in gaan een muntje op te gooien; komt dat terecht op kop, dan gaan we all in met 65% van onze handen, en komt het op munt, dan gaan we all in met 70% van onze handen. Door op deze manier meer strategieën toe te voegen, maken we het bovenstaande probleem steeds kleiner.
Voor onze doeleinden hoeven we echter niet zo precies te zijn. We zijn al tevreden als we een goede benadering van een Nash-evenwicht vinden. We kunnen in de tabel ook visueel makkelijk bepalen waar dat evenwicht ligt: op de kruising van de groene en rode “banden”. In het voorbeeld zal de optimale strategie dus zijn dat wij met grofweg 70% van onze handen all in gaan, en dat de tegenstander callt met een percentage dat ergens tussen de 50% en 55% ligt.
Zwakke tegenstanders
Zoals gezegd: een goede tegenstander zal de kolom kiezen waarin onze winst minimaal is. De tabel vertelt ons echter ook wat we moeten doen tegen minder goede tegenstanders. Is onze tegenstander erg tight, dan kunnen we ervan uitgaan dat hij met te weinig handen zal callen – dus mogelijk met maar 45% of zelfs 40% van zijn handen. De groene vakjes in die kolommen laten ons zien dat we tegen zo’n tegenstander veel ruimer moeten pushen: met 90% of zelfs 100% van onze handen.
Hebben we daarentegen een calling station als tegenstander, die met 65% of 70% van zijn handen callt, dan vertellen de groene vakjes ons dat we zelf iets tighter moeten worden, en met maar 65% of 60% van onze handen moeten pushen. De algemene les is dus: kiest onze tegenstander een te laag percentage, dan kunnen wij een hoger percentage kiezen, en omgekeerd.
In de praktijk
Hoe kunnen we deze kennis nu in de praktijk toepassen? Bij on-linetoernooien is dat eenvoudig: als we willen kunnen we de spreadsheet en PokerStove naast onze tafel open houden, en zodra een all-in mogelijkheid zich voordoet snel de drie mogelijke winst- en verliesbedragen (of een schatting daarvan) in de spreadsheet intypen. De spreadsheet vertelt ons dan wat een goed push-percentage is; dat percentage typen we in in PokerStove, en we zien direct of onze hand een shove waard is of niet. Met wat oefening is dat vrij eenvoudig te doen voor we door onze timebank heen zijn.
Bij live-toernooien hebben we meestal geen software bij de hand. Het is daarom belangrijk om zo veel mogelijk intuïtie voor all-insituaties te ontwikkelen. Pluk daarvoor een hand van een internetforum, of construeer zelf een denkbeeldige situatie met een stack van tussen de 5 en 20 big blinds, en met of zonder antes. Bedenk eerst zelf wat je als optimale push-range zou schatten, en kijk vervolgens wat de spreadsheet en PokerStove aangeven. Als je schattingen na een tijdje beter worden, kun je naast het optimale percentage ook proberen te schatten wat je zou doen tegen een tegenstander die 10% te weinig of 10% te veel callt. Wie op deze manier elke dag vijf all-inhanden oefent, zal al snel een goede intuïtie voor dit soort situaties krijgen, en de spreadsheet op den duur nauwelijks nog nodig hebben.
In de volgende artikelen
Met de informatie uit dit artikel hebben we een prima benadering voor heads-up all-insituaties. Toch is er nog de nodige finetuning mogelijk: de PokerStove-range is bijvoorbeeld niet optimaal, en we hebben het nog niet over ICM gehad. In het derde artikel van deze serie zal ik dat soort aanpassingen bespreken. Daarbij is het natuurlijk van belang dat ons systeem eenvoudig blijft: we hebben niets aan een perfecte wiskundige berekening als die in de praktijk veel te lang duurt om aan de tafel toe te passen!
De volgende vraag is dan natuurlijk: wat doen we als er nog meer dan twee spelers zich met de hand kunnen bemoeien? Situaties waarin de pot niet heads-up is, komen in het vierde en laatste deel van deze serie aan bod.
Fantastisch hoe deze man kan schrijven over situaties. Jammer dat deze serie maar 4 delen duurt. Suuces en dank Marcel.
Fantastisch hoe deze man kan schrijven over situaties. Jammer dat deze serie maar 4 delen duurt. Suuces en dank Marcel.
Na die vier delen gaat hij nog wel over andere onderwerpen schrijven. In principe hebben we iedere maand een stuk van Marcel Vonk op de website, dus voorlopig zit je goed bij PokerCity (dat zat je al natuurlijk).
Na die vier delen gaat hij nog wel over andere onderwerpen schrijven. In principe hebben we iedere maand een stuk van Marcel Vonk op de website, dus voorlopig zit je goed bij PokerCity (dat zat je al natuurlijk).
Ik ben nu op de helft. Ga er vanavond nog eens goed voor zitten 🙂 Good Stuff.
Ik ben nu op de helft. Ga er vanavond nog eens goed voor zitten 🙂 Good Stuff.
Dit stuk is echt een pareltje. Jammer dat het nieuws ondergedolven wordt. De redactie moet te zijner tijd dit artikel maar weer eens een schop naar voren geven over een paar dagen. Heel erg bedankt Marcel !
Dit stuk is echt een pareltje. Jammer dat het nieuws ondergedolven wordt. De redactie moet te zijner tijd dit artikel maar weer eens een schop naar voren geven over een paar dagen. Heel erg bedankt Marcel !
Dank voor de lovende woorden!
@Macboy: De timing van publicatie had inderdaad niet veel slechter kunnen uitvallen… 🙂 Hopelijk komt de on-line pokerwereld weer snel in wat rustiger vaarwater. Als dat het geval is zal ik eens aan de redactie vragen of ze dit stuk nog een bump kunnen geven.
Dank voor de lovende woorden!
@Macboy: De timing van publicatie had inderdaad niet veel slechter kunnen uitvallen… 🙂 Hopelijk komt de on-line pokerwereld weer snel in wat rustiger vaarwater. Als dat het geval is zal ik eens aan de redactie vragen of ze dit stuk nog een bump kunnen geven.
Precies mijn gedachte MacBoy.
Precies mijn gedachte MacBoy.
Wederom een super stuk. Ga het zelf allemaal even nakijken om het ‘echt’ te begrijpen. Dank Marcel!
Wederom een super stuk. Ga het zelf allemaal even nakijken om het ‘echt’ te begrijpen. Dank Marcel!
Ter info: We zullen het stuk zeker de komende weken blijven bumpen.
Ter info: We zullen het stuk zeker de komende weken blijven bumpen.
Super goed artikel was er nog niet aan toe gekomen maar je benadert poker waar ik van hou niet teveel af ronden of ongeveer alles zeer duidelijk te volgen. Echt een must read als je iets dieper wilt begrijpen over shovingranges/callingranges imo.
cEV berekening deed ik anders berekenen en dit is stukje sneller. N1 excel trouwens ga er eens mee aan de slag was al langer na excel op zoek die het automatisch uitrekent.
Benieuwd naar de volgende artikelen. Misschien leuk voor na deze reeks $EV uit te berekenen van bepaalde moves al zal dat wellicht terugkomen bij ICM?
Super goed artikel was er nog niet aan toe gekomen maar je benadert poker waar ik van hou niet teveel af ronden of ongeveer alles zeer duidelijk te volgen. Echt een must read als je iets dieper wilt begrijpen over shovingranges/callingranges imo.
cEV berekening deed ik anders berekenen en dit is stukje sneller. N1 excel trouwens ga er eens mee aan de slag was al langer na excel op zoek die het automatisch uitrekent.
Benieuwd naar de volgende artikelen. Misschien leuk voor na deze reeks $EV uit te berekenen van bepaalde moves al zal dat wellicht terugkomen bij ICM?