Marcel Vonk won in 2010 als eerste Nederlander een No Limit Hold’em WSOP bracelet. Zijn overwinning in het $1.000 event (3844 deelnemers) leverde $570.960 op. In het dagelijks leven is Vonk theoretisch natuurkundige, werkzaam aan het Instituto Superior Técnico in Lissabon. Voor PokerCity gaat Vonk maandelijks een strategiebijdrage schrijven, waarin hij zijn kijk op het spel als speler én wetenschapper geeft.
In zijn eerste bijdrage voor PokerCity geeft Vonk zijn kijk als wiskundige op hand rankings, waarbij onder meer blijkt dat de ranking uit het bekende programma PokerStove niet klakkeloos moet worden aangenomen. Volg PokerCity op de voet en zorg ervoor dat jij geen Vonk overslaat!
All in preflop: Hand rankings (deel 1)
Preflop all-insituaties vormen een cruciaal onderdeel van het toernooipoker. In een cashgame hebben spelers vaak stacks van 100 tot 200 big blinds, en speelt een groot deel van het spel zich af na de flop. Deepstacksituaties komen in toernooien natuurlijk ook voor, maar omdat de blinds blijven toenemen komt vrijwel elke speler uiteindelijk in een situatie terecht waarin hij nog maar 10 tot 15 big blinds heeft. In zo’n geval zijn er vaak maar twee opties: passen of all in gaan. Maar welke van de twee is het best?
De vraag is eenvoudig, maar het maken van de juiste keuze kan verbazend lastig zijn. Deze serie artikelen gaat in op zulke preflop all-inbeslissingen. In het eerste deel bekijken we een belangrijk ingrediënt in het maken van een goede all-in beslissing: hand rankings.
Een nogal theoretisch onderwerp, maar ook een onderwerp dat een basis legt voor allerlei praktische toepassingen. Aan het eind van dit artikel zullen we al kort zo’n praktische toepassing zien; in de komende delen kom ik veel uitgebreider terug op hoe we de opgedane theoriekennis kunnen omzetten in praktische kennis, die we uiteindelijk ook aan de pokertafel kunnen gebruiken.
Starthanden en equity
Wat is de beste starthand in No Limit Hold’Em? Iedereen die iets van poker weet en niet extreem bijgelovig is, zal op deze vraag hetzelfde antwoord geven: een paar azen. Een tweede keus is ook snel gemaakt: als je geen azen kunt krijgen, dan maar een paar koningen – de op één na beste starthand. Daarna wordt het echter lastiger. Wat is de op twee na beste starthand? Het moge duidelijk zijn dat er twee kandidaten zijn: een paar vrouwen, of aas-koning suited. Welke van deze twee handen is beter?
Een bepalende factor voor de kwaliteit van een hand in een all-insituatie is de “equity” van die hand tegen een bepaalde range. Ter herinnering: de equity van hand A tegen hand B is het deel van de pot dat hand A bij een all-in gemiddeld wint. Als hand A honderd keer all in gaat tegen hand B, en hand A wint gemiddeld 60 keer, verliest 36 keer, en er is 4 keer een split pot, dan heeft hand A een equity van 62% tegen hand B. (In de gevallen dat er een split pot is wint hand A maar de helft van de pot, dus in totaal wint hand A 60 + 4/2 = 62 keer de pot.)
Als de tegenstander niet één specifieke hand heeft, maar een range van handen, is de equity van hand A het gemiddelde van de equities tegen alle handen die de tegenstander kan hebben. Bijvoorbeeld: als de range van de tegenstander 12 handen bevat waartegen hand A een equity van 62% heeft, en 6 handen waartegen hand A een equity van 38% heeft, dan is de equity van hand A tegen die range (12 x 62% + 6 x 38%) / (12 + 6) = 54%
Het uitrekenen van de equity van een hand tegen een andere hand, of tegen een range, is niet eenvoudig. In principe moet je daarvoor bepalen welke hand wint voor elke mogelijke flop, turn en river. Het aantal mogelijkheden loopt daarbij al snel in de miljoenen. Gelukkig bestaat er software die dergelijke equityberekeningen snel doet; het bekendste programma hiervoor is PokerStove, gratis te downloaden op www.pokerstove.com.
QQ of AKs?
Terug naar onze vraag: wat is de op twee na beste starthand? Zoals op elke goede pokervraag is het antwoord: dat hangt ervan af. Als we met PokerStove bijvoorbeeld bekijken hoe QQ en AKs het doen tegen de beste twee handen vinden we het volgende:
AKs heeft tegen de range KK+ (dus KK en AA) een equity van 23%
QQ heeft tegen de range KK+ een equity van 18%
Daarmee lijkt AKs een goede kandidaat voor de titel “op twee na beste starthand”. Aan de andere kant: tegen de range KK+ zijn er allerlei handen die het nog beter doen dan AKs. ATs heeft bijvoorbeeld een equity van 26% tegen KK+, al zal niemand die hand natuurlijk als derde beste starthand kwalificeren.
Verder: als we kijken hoe onze twee kandidaten het onderling doen vinden we een heel andere uitkomst: QQ heeft tegen AKs een equity van 54% (en AKs tegen QQ dus van 46%)
In een onderlinge confrontatie is QQ dus de betere hand. Welke hand moet nu de bronzen medaille krijgen? Het moge duidelijk zijn dat vragen als de bovenstaande alleen maar lastiger worden als we ons gaan afvragen wat de vierde beste starthand, vijfde beste starthand, enzovoort zijn. Een uniek antwoord op die vragen bestaat niet – het antwoord hangt helemaal af van de situatie waarin we ons bevinden.
Een eenvoudige hand ranking
Laten we eens kijken naar de volgende situatie. We zitten op de small blind, en iedereen past. We hebben, na een ongelukkige vorige hand, nog maar twee big blinds over. Als we all in gaan (en in vrijwel alle gevallen zal dat de beste keuze zijn) zal de big blind dus normaal gesproken altijd callen. In dit geval is de volgorde van beste handen (of, met een goed anglicisme, de “hand ranking”) dus afhankelijk van de equity die onze hand heeft tegen een random range. Met PokerStove is die hand ranking eenvoudig te vinden.
Het resultaat is:AA 85.20%
KK 82.40%
QQ 79.93%
JJ 77.47%
TT 75.01%
99 72.06%
88 69.16%
AKs 67.04%
77 66.24%
AQs 66.21%
AJs 65.39%
AKo 65.32%
ATs 64.60%
AQo 64.43%
AJo 63.56%
We zien dat QQ de race om de derde plaats hier met afstand wint, en dat ook de andere hoge paren het beduidend beter doen dan AKs. AKo doet het relatief gezien nog minder goed: tegen een random range heeft die hand een slechtere equity dan bijvoorbeeld AJs. In de tabel hierboven zijn alleen de beste handen weergegeven. Wie de hele hand ranking wil zien kan die vinden in het PDF-bestand dat hier en onderaan het artikel gelinkt is.
Een universele hand ranking
In het bovenstaande voorbeeld is het natuurlijk interessant om de hand ranking te weten, maar die informatie is niet van cruciaal belang voor het nemen van onze beslissing. We zullen hoe dan ook all in gaan, welke hand we ook oppakken. Er zijn echter situaties waarin de kennis van een hand ranking van doorslaggevend belang kan zijn in het nemen van de juiste all-inbeslissing. Zo kan bijvoorbeeld uit een speltheoretische berekening blijken dat het bij een bepaalde stackgrootte optimaal is om met de beste X% van onze handen all in te gaan, en dat onze tegenstander dan met de beste Y% van zijn handen moet callen.
Op de vraag hoe we die percentages X en Y bepalen als we de stackgrootte weten, kom ik in een komend artikel nog uitgebreid terug. Laten we voor dit moment een willekeurig getallenvoorbeeld nemen, en zeggen dat we met de beste 15% van onze handen all-in willen gaan, waarna de tegenstander met de beste 25% van zijn handen zal callen. De vraag is dan: wat is die beste 15% waarmee we moeten pushen?
Als eenvoudigste oplossing voor dit probleem kunnen we ervoor kiezen om simpelweg de beste 15% van handen uit de bovenstaande ranking te nemen. Er zijn in No Limit Hold’Em 1326 mogelijke starthanden, dus in totaal hebben we daarvan 15% nodig, afgerond de 199 beste handen. Het is dan een kwestie van aftellen. AA staat voor zes mogelijke handen (AsAh, AsAd, enzovoort), en idem voor de andere paren. AKs kunnen we, net als alle andere suited combinaties, op 4 manieren krijgen. Voor de offsuit combinaties zijn er steeds 12 mogelijkheden. Alles optellend komen we zo tot het resultaat dat de range waarvoor het aantal het dichtst bij de 199 ligt de volgende is: 55+, A5s+, K9s+, QJs, A9o+, KJo+, voor een totaal van 200 handen. Ter herinnering: een notatie als “K9s+” staat voor “K9s, KTs, KJs, KQs.
Deze manier om tot een top-15% van handen te komen heeft een voordeel en een nadeel. Het voordeel is dat we in al dit soort problemen van dezelfde tabel gebruik kunnen maken. Het nadeel is dat de methode überhaupt geen rekening houdt met de range van onze tegenstander. Zolang die range groot is, is het geen heel groot probleem dat we die door een random range benaderen. Hoe smaller de range van de tegenstander echter is, hoe slechter de benadering wordt. Om een extreem voorbeeld te geven: als onze tegenstander alleen met AA zou callen, is de op één na beste hand om mee all in te gaan (na natuurlijk het andere paar azen) 65s – een hand die veel straten en flushes kan maken. In de hand ranking tegen random handen staat die hand daarentegen ruimschoots in de onderste helft!
We kunnen ons afvragen of het mogelijk is om het voordeel van de eenvoud te behouden, maar om een “universele hand ranking” te vinden die iets meer op alledaagse all-in situaties is aangepast. PokerStove biedt zo’n hand ranking: bij het invoeren van een range kan de gebruiker ervoor kiezen om een percentage op te geven, en het programma kiest dan een verzameling handen die dit percentage het best benadert. De ranking die PokerStove gebruikt is op een slimme, maar vrij willekeurige manier gedefinieerd. De handen zijn geordend volgens hun equity bij een all-in tegen drie random handen. Deze ranking houdt beter rekening met het suited en connected zijn van handen: een hand als 65s staat bijvoorbeeld (net) bij de beste 50%. Ook de PokerStove-ranking is in de PDF te vinden.
Een voorbeeld van een preciezere ranking
De PokerStove-ranking is door het gebruiksgemak, en het feit dat de ranking veel realistische situaties goed benadert, erg populair. Sterker nog: wie veel forum-posts leest krijgt de indruk dat “de beste X% van handen” bijna synoniem is met “de beste X% van handen volgens de PokerStove-ranking”. Dat is zoals gezegd geen slechte benadering, maar ook de PokerStove-ranking kent zijn zwakke punten. Laten we om die zwakke punten te begrijpen nog eens kijken naar de al eerder genoemde situatie.
Wat is de beste 15% van handen tegen een range van de beste 25% van handen?
Het lastige aan deze vraag is dat die eigenlijk bestaat uit twee deelvragen, die elkaars “spiegelbeeld” zijn:
1) Wat is onze top-15% range tegen de top-25% range van de tegenstander?
2) Wat is de top-25% range van de tegenstander tegen onze top-15% range?
Om het antwoord op vraag 1 te bepalen, moeten we het antwoord op vraag 2 weten, en omgekeerd…We kunnen nu ingewikkelde wiskundige speltheorie van stal halen om dit probleem op te lossen, maar er is een eenvoudige truc die de oplossing heel goed benadert.
Die truc is om achtereenvolgens de volgende hand rankings te bepalen:
Ranking A1: de ranking tegen de top-25% van random handen
Ranking B1: de ranking tegen de top-15% van ranking A1
Ranking A2: de ranking tegen de top-25% van ranking B1
Ranking B2: de ranking tegen de top-15% van ranking A2
Ranking A3: de ranking tegen de top-25% van ranking B2
Ranking B3: de ranking tegen de top-15% van ranking A3
…enzovoort.
Als we dit proces lang genoeg herhalen (in het algemeen is een stap of vijf voldoende) dan zullen de rankings van stap tot stap niet meer veranderen, en hebben we dus een ranking A gevonden waarvan de top-15% het het beste doet tegen de top-25% van ranking B, en omgekeerd.
(Een opmerking voor de wiskundeliefhebbers: het kan ook voorkomen dat het proces niet tot stabiele rankings A en B leidt, maar dat bijvoorbeeld A6 gelijk is aan A8, A10, A12,… en A7 gelijk aan A9, A11, A13… enzovoort. In dat geval leidt deze procedure niet tot een zogenoemd “Nash-evenwicht”. We kunnen dan een definitieve ranking maken door bijvoorbeeld de equities uit A6 en A7 te middelen.)
Het resultaat
Om dit allemaal met de hand te doen is natuurlijk onbegonnen werk, maar met behulp van een computerprogramma is de berekening snel gedaan. We vinden zo uiteindelijk de volgende ranges:
Top-15% (tegen top-25%): 44+, A5s+, KTs+, QJs+, A8o+, KQo+
Top-25% (tegen top-15%): 22+, A2s+, K9s+, K7s, Q8s+, J8s+, T7s+, 97s+, 87s, 76s, A7o+, KJo+, QJo, JTo
Ik heb hier alleen de ranges weergegeven; de volledige rankings, inclusief equities, zijn te vinden in de PDF.
Een leuk detail waaraan we direct zien dat elke situatie eigenlijk om zijn eigen berekening vraagt is het volgende: in bovenstaande top-25% vinden we zowel K9s als K7s, maar niet K8s. De reden is dat de offsuit handen met een aas in de top-15% ophouden bij A8o. K8s heeft daardoor een grotere kans om gedomineerd te zijn dan K7s. Het verschil in equity tussen K8s en K7s is overigens niet heel groot: maar zo’n 0,1%.
Vergelijking met de PokerStove-ranking
Wanneer we het resultaat vergelijken met wat we zouden vinden als we domweg de top-15% en top-25% uit de PokerStove-ranking zouden nemen, valt een aantal dingen op. (De diverse ranges zijn in de PDF met kleuren aangegeven.)
Ten eerste zien we dat de twee methodes beslist niet tot dezelfde ranges leiden. Om een voorbeeld te noemen: De PokerStove-range heeft in de top-15% ATo+ in plaats van A8o+ (dus minder offsuit-azen), maar KTo+ in plaats van KQo+ (dus meer offsuit-koningen).
Als we wat preciezer kijken blijken de verschillen echter niet zo groot als we op het eerste gezicht zouden denken. Vrijwel alle handen die in de ene range wel voorkomen en in de andere niet, liggen qua equity in de buurt van de handen die precies op het randje zitten. Bijvoorbeeld: de slechtste hand die de top-15% nog net haalt is A5s, met een equity van 45,6%. De hierboven genoemde “twijfelhanden” als A8o, A9o, KTo en KJo vallen qua equity allemaal binnen een marge van zo’n 3% van deze hand. In de praktijk zal ons verwachte toernooiresultaat dus zelden sterk afhangen van of we met die handen all in gaan of niet.
Er is echter een belangrijke uitzondering op die regel: PokerStove blijkt kleine paren sterk onder te waarderen. In de top-15% neemt PokerStove bijvoorbeeld niet de paren 44, 55 en 66 op. De equity van 66 is 51,2% – dik 5% meer dan de grenswaarde. En in de top-25% is het effect nog sterker: de Pokerstove-ranking sluit de paren van 22 tot en met 55 uit, maar een paar vijven heeft een equity die 
bijna 10% meer is dan de equity van de werkelijke “grenshand”, K7s. We maken dus een forse (en kostbare!) vergissing door een hand als 55 uit te sluiten.
bijna 10% meer is dan de equity van de werkelijke “grenshand”, K7s. We maken dus een forse (en kostbare!) vergissing door een hand als 55 uit te sluiten.(Opmerking: 55 is overigens een vreemd geval: in PokerStove hoort die hand net niet bij de beste 25%, maar in een simulatie lijkt de hand eigenlijk wel binnen de definitie te vallen – zie ook de opmerking in de PDF. Dat doet er voor het resultaat niet zo heel veel toe; bij bijvoorbeeld een range van 24% in plaats van 25% zou 55 duidelijk buiten de PokerStove-definitie vallen, en gelden alle bovenstaande opmerkingen nog steeds.)
Conlcusie
Als we all-in willen gaan (of een all-in willen callen) met een bepaald percentage van onze handen, is het in het algemeen prima om de range te gebruiken die PokerStove suggereert. De grote uitzondering wordt gevormd door lage paren. Het is in all-in beslissingen in het algemeen goed om de onderste 12, 18 of 24 handen van de PokerStove-range te vervangen door 2, 3 of 4 extra paren.
Nog meer vragen
Daarmee heeft het bovenstaande theoretische verhaal gelukkig ook nog tot een zeer praktisch toepasbare wijsheid geleid. Toch zijn hiermee nog lang niet alle vragen beantwoord. Bijvoorbeeld:
- Hoe weten we hoeveel paren we precies aan de PokerStove-range moeten toevoegen? Is het mogelijk een “universele ranking” op te stellen die een betere range geeft, zonder dat we in elke situatie een nieuwe lange berekening moeten maken?
- In het voorbeeld gingen we ervan uit dat we met onze top-15% handen wilden pushen, en dat de tegenstander met zijn top-25% handen zou callen. Hoe kunnen we in praktische situaties zulke percentages bepalen?
Maar goed dit stuk is al meer dan lang genoeg. De antwoorden op deze twee vragen zijn dus de onderwerpen van de komende afleveringen in deze serie.
– Marcel Vonk –
Voor de berekeningen die ik voor dit artikel gemaakt heb, moesten de nodige gegevens uit PokerStove worden omgezet naar het wiskundeprogramma Mathematica. Ik wil Paul Dekkers, Linda Aarts, Joyce Haas, Petra van der Meijs en vooral Ramon van der Hilst hartelijk bedanken voor de daarbij aangeboden hulp.
Woow. Heftig stukje, erg interessant !
Heb het echt met plezier twee keer gelezen, ben heeeeeeeeeeeeeeeeeeel benieuwd naar je volgende stuk !
Top werk !!
Woow. Heftig stukje, erg interessant !
Heb het echt met plezier twee keer gelezen, ben heeeeeeeeeeeeeeeeeeel benieuwd naar je volgende stuk !
Top werk !!
`n intressant en goed geschreven stuk, zodat `n simpele ziel als ondergetekende het ook nog snapt. Keep up the good work !
`n intressant en goed geschreven stuk, zodat `n simpele ziel als ondergetekende het ook nog snapt. Keep up the good work !
Als ik mensen poker uitleg weet ik nooit welke hand nu sterker is AK of QQ en het hangt dus van de situatie af begrijp ik.
Vooral wat er gezegd wordt over paartjes sprak me erg aan. Paartjes worden vaak onder gewaardeerd. Het is goed dat hier wordt uitgegaan van 1326 mogelijke starthanden. En niet het principe van 169 verschillende handen dat ‘voor het gemak’ vaak gebruik wordt. Er is inderdaad een wezenlijk verschil.
Doordat we maar op 4 manieren een pocket paar kunnen maken en op 16 (!) manieren non-paar handen als bijvoorbeeld aas-koning is het moeilijker voor onze tegenstanders om een hoger pocket paar te hebben.
Stel je opent met JJ en je weet dat jouw tegenstander alleen 4-bet met AA,KK,QQ,AK,AQ en AJ. Als je dan all-in gaat is de kans dat je een Ax hand te zien krijgt dus vier keer zo groot dan dat je een hoger paar te zien krijgt.
Als ik mensen poker uitleg weet ik nooit welke hand nu sterker is AK of QQ en het hangt dus van de situatie af begrijp ik.
Vooral wat er gezegd wordt over paartjes sprak me erg aan. Paartjes worden vaak onder gewaardeerd. Het is goed dat hier wordt uitgegaan van 1326 mogelijke starthanden. En niet het principe van 169 verschillende handen dat ‘voor het gemak’ vaak gebruik wordt. Er is inderdaad een wezenlijk verschil.
Doordat we maar op 4 manieren een pocket paar kunnen maken en op 16 (!) manieren non-paar handen als bijvoorbeeld aas-koning is het moeilijker voor onze tegenstanders om een hoger pocket paar te hebben.
Stel je opent met JJ en je weet dat jouw tegenstander alleen 4-bet met AA,KK,QQ,AK,AQ en AJ. Als je dan all-in gaat is de kans dat je een Ax hand te zien krijgt dus vier keer zo groot dan dat je een hoger paar te zien krijgt.
@allemaal: Bedankt voor de positieve reacties – leuk om te lezen!
@Kracht tonen: Eerst een kleine correctie: je kunt een pocket paar op 6 manieren maken – bijvoorbeeld AsAd, AsAh, AsAc, AdAh, AdAc, AhAc. Maar wat je zegt is verder helemaal waar: ve
@allemaal: Bedankt voor de positieve reacties – leuk om te lezen!
@Kracht tonen: Eerst een kleine correctie: je kunt een pocket paar op 6 manieren maken – bijvoorbeeld AsAd, AsAh, AsAc, AdAh, AdAc, AhAc. Maar wat je zegt is verder helemaal waar: ve
Goed geschreven, interessante materie. Ik kijk uit naar de komende delen met wat meer praktisch toepasbare handvaten. Deze simpele ziel moest het wel een paar lezen voor de boodschap doordrong hoor 🙂
@Kracht Tonen hoor het je al zeggen de volgende keer aan pokertafel. “I has a pair! I Call!”
Goed geschreven, interessante materie. Ik kijk uit naar de komende delen met wat meer praktisch toepasbare handvaten. Deze simpele ziel moest het wel een paar lezen voor de boodschap doordrong hoor 🙂
@Kracht Tonen hoor het je al zeggen de volgende keer aan pokertafel. “I has a pair! I Call!”
Goed artikel.
@ Marcel, wat is jouw visie over het feit dat een pushrange en callrange wat van elkaar kunnen verschillen?
Een hand als 89s kan prima zijn om te pushen dan A2o maar omgekeerd call je soms liever met A2o?
Greets. K.
Goed artikel.
@ Marcel, wat is jouw visie over het feit dat een pushrange en callrange wat van elkaar kunnen verschillen?
Een hand als 89s kan prima zijn om te pushen dan A2o maar omgekeerd call je soms liever met A2o?
Greets. K.
in Holdemmanger staan er standaard 4 ranges ingegeven in de hand range tool.
Je vind ze in je confog-map bij preflop ranges.
Ik vind die van Billings-Davidson trouwnes wel een goede.
Terwijl ik met Pokerstove om jouw vermelde redenen ook niet graag die range gebruik.
Wat me wel opvalt is dat A2s beter is dan A7o bij de meeste ranges.
Op zich denk ik dat nagenoeg iedereen die A2s pusht ook wel al A5o in zijn range heeft zitten.
in Holdemmanger staan er standaard 4 ranges ingegeven in de hand range tool.
Je vind ze in je confog-map bij preflop ranges.
Ik vind die van Billings-Davidson trouwnes wel een goede.
Terwijl ik met Pokerstove om jouw vermelde redenen ook niet graag die range gebruik.
Wat me wel opvalt is dat A2s beter is dan A7o bij de meeste ranges.
Op zich denk ik dat nagenoeg iedereen die A2s pusht ook wel al A5o in zijn range heeft zitten.
Zeer interessant artikel, ik deed het altijd al in pokerstove meer pp´s en bottom weghalen maar mooi dat het hier op deze manier word verteld.
Ik ben het niet met je eens kenny dat als mensen A2s pushen ook A5o pushen. Ikzelf push b.v. in sommige spots A8o niet en A2s wel zit best veel equity verschil in qua top callingrange in veel spots. (Denk trouwens dat redelijk veel spelers dit doen).
Voor de mensen die het leuk vinden om een beetje te stoven en over het PP verhaal, kijk eens naar de equity verschillen van 22 33 44 etc vergeleken met 55,66 echt een mega verschil.
Ik kijk met veel plezier uit naar de volgende =)
Zeer interessant artikel, ik deed het altijd al in pokerstove meer pp´s en bottom weghalen maar mooi dat het hier op deze manier word verteld.
Ik ben het niet met je eens kenny dat als mensen A2s pushen ook A5o pushen. Ikzelf push b.v. in sommige spots A8o niet en A2s wel zit best veel equity verschil in qua top callingrange in veel spots. (Denk trouwens dat redelijk veel spelers dit doen).
Voor de mensen die het leuk vinden om een beetje te stoven en over het PP verhaal, kijk eens naar de equity verschillen van 22 33 44 etc vergeleken met 55,66 echt een mega verschil.
Ik kijk met veel plezier uit naar de volgende =)
@Prins Flip: Dank je! Het is zeker de bedoeling om deze serie uiteindelijk tot een aantal praktisch toepasbare tips te laten leiden. Als het goed is worden de doorbijters die geen grote wiskundeliefhebbers zijn dus ook beloond voor de moeite om zich door
@Prins Flip: Dank je! Het is zeker de bedoeling om deze serie uiteindelijk tot een aantal praktisch toepasbare tips te laten leiden. Als het goed is worden de doorbijters die geen grote wiskundeliefhebbers zijn dus ook beloond voor de moeite om zich door
erg goed artikel vind ik.
Erg interessant en ben benieuwd naar je volgende artikelen. Je moet het wel goed lezen wil je het begrijpen.
erg goed artikel vind ik.
Erg interessant en ben benieuwd naar je volgende artikelen. Je moet het wel goed lezen wil je het begrijpen.
Super artikel Marcel, ben zelf een grote fan van wiskundige onderbouwingen van problemen aan de pokertafel omdat hiermee alle onderbuikgevoelens uitgesloten kunnen worden. Helaas is het niet altijd even gemakkelijk voor een niet wiskundige om de juiste formules om een probleem op te lossen te vinden.
Ik kijk nu al uit naar een volgend stuk van jouw hand en hoop dat je in de toekomst ook eens wat tijd zou kunnen besteden aan de wiskundige onderbouwing die achter een programma als StoxEV schuil gaat.
Super artikel Marcel, ben zelf een grote fan van wiskundige onderbouwingen van problemen aan de pokertafel omdat hiermee alle onderbuikgevoelens uitgesloten kunnen worden. Helaas is het niet altijd even gemakkelijk voor een niet wiskundige om de juiste formules om een probleem op te lossen te vinden.
Ik kijk nu al uit naar een volgend stuk van jouw hand en hoop dat je in de toekomst ook eens wat tijd zou kunnen besteden aan de wiskundige onderbouwing die achter een programma als StoxEV schuil gaat.
Het is al gezegd, maar nogmaals super stuk!! Ben benieuwd naar het volgende…..Aanwinst voor het strategy gedeelte!
Het is al gezegd, maar nogmaals super stuk!! Ben benieuwd naar het volgende…..Aanwinst voor het strategy gedeelte!
@ Marcel:
Welkom op Pokercity! Goed eerste stuk. Blij ook dat het niet alleen theoretische analyse was, maar ook enige practische toepasbaarheid heeft. (Mijn voornaamste klacht tegen het Chen/Ankenman boek. Wel heel veel ongetwijfeld correcte & inz
@ Marcel:
Welkom op Pokercity! Goed eerste stuk. Blij ook dat het niet alleen theoretische analyse was, maar ook enige practische toepasbaarheid heeft. (Mijn voornaamste klacht tegen het Chen/Ankenman boek. Wel heel veel ongetwijfeld correcte & inz
Marcel bedankt! Goed te bevatten doordat meneer Hollink’s SB-BB-tabel ook uitging van BB past zich aan SB aan, SB vervolgens weer aan BB tot optimale push/fold-range.
In hoeverre schelen jullie qua visie/starthanden?
Daarbij zit het in m’n hoofd dat callrange kleiner is dan pushrange…
Marcel bedankt! Goed te bevatten doordat meneer Hollink’s SB-BB-tabel ook uitging van BB past zich aan SB aan, SB vervolgens weer aan BB tot optimale push/fold-range.
In hoeverre schelen jullie qua visie/starthanden?
Daarbij zit het in m’n hoofd dat callrange kleiner is dan pushrange…
Mijn hoofd doet pijn. Goed stuk.
Mijn hoofd doet pijn. Goed stuk.
Zouden zeurrr en stofzuiger 73 dit onlangs ook allemaal gebruikt hebben?
Zouden zeurrr en stofzuiger 73 dit onlangs ook allemaal gebruikt hebben?
@zodiac: StoxEV (volgens mij heet het tegenwoordig trouwens “CardRunners EV Calculator”) heb ik zelf nooit gebruikt, maar het is een programma waar inderdaad veel interessante wiskunde in zit. Ik heb al een heel lijstje met ideeën voor volgende artikelen;
@zodiac: StoxEV (volgens mij heet het tegenwoordig trouwens “CardRunners EV Calculator”) heb ik zelf nooit gebruikt, maar het is een programma waar inderdaad veel interessante wiskunde in zit. Ik heb al een heel lijstje met ideeën voor volgende artikelen;